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By Prof. Dr. Christian Hesse (auth.)

Das Buch gibt eine Einf?hrung in die Denkweisen, Methoden und Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie f?r Studierende der Mathematik und anderer Disziplinen. Neben einer intuitiven Verankerung der Theorie wird gro?er Wert auf realit?tsnahe Aufgaben und Beispiele gelegt. Das Buch enth?lt eine Vielzahl dieser Anwendungen aus den verschiedensten Gebieten.
Ein weiterer Vorzug: Die Beweisf?hrungen sind - bei aller mathematischen Strenge - m?glichst kurz und elementar gehalten, und es wurde Wert darauf gelegt, dass sie die ihnen zugrunde liegenden Ideen zu Tage treten lassen.
Auf diese Weise bem?ht sich das Buch, beiden Erscheinungsformen der Wahrscheinlichkeitstheorie gerecht zu werden: Als Teilgebiet der Mathematik besitzt diese alle Besonderheiten gelungener mathematischer Konzeptionen, von ausgefeilten Theoriegeb?uden ?ber strenge Argumentationslinien bis hin zu faszinierenden gel?sten und offenen Problemen. Als interdisziplin?re Wissenschaft erh?lt sie viele Anst??e von au?erhalb der Mathematik, und ihre Modelle und Methoden finden sich in so intestine wie jedem anderen Wissenschaftsbereich, von der Dynamik von Vielteilchensystemen, der stochastischen examine von Algorithmen, der Qualit?tskontrolle bis hin zur Aktienkursmodellierung und Spieltheorie.

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Karl Menger, one of many founders of measurement conception, belongs to the main unique mathematicians and thinkers of the 20 th century. He was once a member of the Vienna Circle and the founding father of its mathematical similar, the Viennese Mathematical Colloquium. either in the course of his early years in Vienna and, after his emigration, within the usa, Karl Menger made major contributions to a large choice of mathematical fields, and tremendously prompted a few of his colleagues.

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Produziert, und es ist 1 6 2 3 313 = 100 . 10 + 100 . 10 + 100 . 10 = 200' Der folgende zwar elementare, doch wichtige und weit reichende Satz ermöglicht es, aus der Beobachtung des Ereignisses A auf die möglichen Ursachen Bi zurückzuschließen und aus den Apriori-Wahrscheinlichkeiten P(Bi ) der Ursachen sowie den bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A IBi) die Aposteriori-Wahrscheinlichkeiten P(Bi IA) der Ursachen zu ermitteln. 3 (Satz von Bayes) Es sei (11,A,P) ein W-Raum und (Bn)nEN eine Partition von 11 mit P(Bt ) > 0, Vi E N.

Absolute Moment, r E ~. (Eine Zufallsgröße mit r. absoluten Moment heißt r -fach integrierbar, speziell bei r·= 2 -quadratisch integrierbar. Die Varianz var X := E(X - EX)2 wird -als 2. (zentriertes) Moment bezeichnet. 30) äquivalenten Aussage EIXYI 1 EIXIP IIXllplIYllq ::; P(IIXllp)p 1 EIYlq + q(IIYllq)q 1 1 = p+ q = 1. 32) gilt Gleichheit zwischen der linken und der rechten Seite genau dann, wenn entweder X oder Y fast sicher gleich Null sind oder fast sicher die Beziehung Y = aX für eine Konstante a besteht.

Ber p ist nichts bekannt, mit anderen Worten: es ist nicht bekannt, aus welcher Urne die Kugeln gezogen werden. Wir nehmen deshalb apriori alle Urnen als gleich wahrscheinlich an und werden mit dem gegebenen Ereignis, dass k -mal in Folge eine weiße Kugel gezogen wurde, auf die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Urnen zurückschließen. Später nehmen wir noch den Grenzübergang n --t 00 vor, um die Diskretisierung der Wahrscheinlichkeit zu beseitigen. Wir definieren die Ereignisse = k weiße Kugeln ziehen W = eine weitere weiße Kugel ziehen Ui = die Kugeln werden aus Urne i gezogen.

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